Чему равна сумма корней уравнения

В алгебре сумма корней уравнения является важной характеристикой, которая может быть определена без непосредственного решения уравнения. В данной статье рассмотрим методы нахождения суммы корней для различных типов уравнений.

Квадратные уравнения

Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 сумма корней определяется по теореме Виета:

Пример

Для уравнения 2x² - 5x + 3 = 0:

• a = 2, b = -5
• Сумма корней = -(-5)/2 = 2.5

Кубические уравнения

Для уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0 сумма корней равна:

Уравнения n-ной степени

Для общего уравнения aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0:

1. Сумма всех корней: -aₙ₋₁/aₙ
2. Сумма произведений корней по два: aₙ₋₂/aₙ
3. Аналогично для других комбинаций

Особые случаи

• Если уравнение имеет один корень (кратный), он учитывается столько раз, какова его кратность
• Для комплексных корней сумма также вычисляется по тем же правилам

Практическое применение

Пример расчета

Дано уравнение: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

1. Сумма корней = -(-6)/1 = 6
2. Корни: 1, 2, 3
3. Проверка: 1 + 2 + 3 = 6

Графическая интерпретация

Для квадратного уравнения сумма корней соответствует x-координате вершины параболы:

• Вершина находится в точке x = -b/(2a)
• Среднее арифметическое корней: (x₁ + x₂)/2 = -b/(2a)

Заключение

Сумма корней уравнения является важной характеристикой, которая может быть найдена без полного решения уравнения, используя коэффициенты при старших степенях. Это свойство широко применяется в различных областях математики и ее приложениях, позволяя анализировать уравнения без трудоемких вычислений.